Выбор рационального уровня сервиса в логистике является непростой задачей. Несмотря на то, что в учебной литературе логистическому сервису уделяется достаточно большое внимание, среди специалистов-практиков нередко бытует мнение не только о желательности, но и необходимости стремления к «стопроцентному сервису». Как правило, именно такой уровень сервиса трактуется как синоним клиентоориентированности компании, а попытки рассмотрения альтернативных вариантов в лучшем случае считаются ретроградством и отметаются. Обычно требование сервиса «не ниже ста процентов» подкрепляется ссылками на особую специфику компании: производственную, сбытовую, закупочную или какую-нибудь другую. При всей эмоциональной привлекательности идеи стопроцентного сервиса, с реальностью такой уровень сервиса обычно никак не связан. Стопроцентный сервис, поставленный в качестве цели, свидетельствует лишь о неумении оптимизировать логистические процессы.
В литературе по логистике системная оптимизация уровня сервиса анализируется довольно подробно, но, преимущественно, лишь качественно. Как правило, отмечается быстрый рост затрат при приближении уровня сервиса к ста процентам. Нередко скорость этого роста называется «экспоненциальной», хотя, как будет показано ниже, с хорошо известной элементарной математической функцией эта скорость никак не связана.
В предлагаемой статье будет сделана попытка разобраться в вопросе рационального выбора уровня сервиса с цифрами в руках.
Хочется сразу оговориться: приоритетность клиента в бизнесе, так же, как и необходимость обеспечения высокого уровня сервиса в цепочках поставки, сомнению нами не подвергается. Тем не менее, ни в коем случае нельзя забывать о том, что в основных задачах логистики кроме «нужного продукта, в необходимом месте, в нужное время, должного качества, в необходимом количестве», есть еще требование «по приемлемой цене». А такие характеристики процессов, как «приемлемый» и «высокий» должны иметь прозрачное количественное выражение.
В предлагаемой статье на конкретных примерах будет рассмотрена методология определения оптимального уровня сервиса в различных задачах логистики.
Нелинейный рост издержек при повышении уровня сервиса
Причиной быстрого роста затрат при приближении уровня сервиса к ста процентам, является вероятностная, т.е. случайная, природа многих логистических процессов, таких как объем клиентского спроса, график поступления заявок или время доставки товара. Попытки застраховаться от очень маловероятных событий, как правило, приводят к неоправданным издержкам.
Для понимания природы учета редких событий можно рассмотреть простейший пример случайного процесса - подбрасывание монетки. Вероятность выпадения, например «орла», при одном бросании равна ½. Поскольку вероятность независимых событий - это произведение соответствующих вероятностей, вероятность выпадения двух «орлов» при двух бросаниях будет равна ¼, вероятность выпадения десяти «орлов» при десяти бросаниях составит 2-10, или примерно 0,1%. Хотя выпадение десяти «орлов» за десять бросаний возможно, в среднем оно будет происходить лишь один раз примерно за тысячу опытов, т.е. чрезвычайно редко. Под «опытом» здесь подразумевается десятикратное подбрасывание монетки. В соответствии с интуитивными ощущениями и опытом, мы, как правило, пренебрегаем вероятностью редких событий. В частности, мало кто из автомобилистов возит в багажнике больше одного запасного колеса, хотя существует ненулевая вероятность проколоть четыре колеса одновременно. И, тем не менее, во вполне аналогичной ситуации, можно раз за разом слышать о «стопроцентном логистическом сервисе», т.е., фактически, о желании иметь больше «запасных колес». Желание иметь запасные колеса никогда не дается бесплатно, а сопряжено с использованием дополнительных ресурсов: это и финансы, потраченные на их приобретение, а также значительная часть объема багажника, занятая колесом.
Поэтому рациональный подход к выбору уровня сервиса должен состоять в балансе выгоды от повышения уровня сервиса и расходов на его поддержание. В целом, задача оптимизации уровня сервиса должна ставится следующим образом: при каком объеме ресурсов достигается заданный уровень сервиса? Какова стоимость этих ресурсов, а также, каковы издержки такого уровня сервиса? Ответы на поставленные вопросы позволяют найти оптимальный по суммарному финансовому результату уровень сервиса в самых разных логистических задачах. Как будет показано ниже, оптимальный уровень сервиса стопроцентным не бывает.
Задачи, допускающие стопроцентный сервис
Рассмотрим модельную задачу, с вероятностной точки зрения абсолютно аналогичную задаче о бросании монетки. Пусть N потребителей обеспечиваются продукцией из одного распределительного центра. В простейшей постановке задачи ежедневный спрос каждого из потребителей составляет с равной вероятностью либо одну, либо ни одной единицы продукции. Для стопроцентного удовлетворения возможного спроса, распределительный центр должен ежедневно иметь в запасе N единиц продукции. В случае независимости спроса разных потребителей, вероятность суммарной потребности, в точности равной N единицам продукции, составляет 2-N, что для больших значений N имеет исчезающе малое значение. Поскольку содержание запаса на распределительном центре имеет свою стоимость, можно предположить, что готовность удовлетворить максимально возможный спрос нецелесообразна с экономической точки зрения. Уровень логистического сервиса определяется как отношение фактически достигнутого результата к максимальному теоретически возможному показателю, поэтому стопроцентный сервис практически всегда далек от своего оптимального значения.
В задаче определения оптимального уровня сервиса необходимо проанализировать, к каким потерям может привести то, или иное редкое событие, а также оценить затраты, необходимые для предотвращения возможных потерь. Поэтому одной теории вероятностей для решения задачи оптимизации принципиально недостаточно - задача также определяется ценой потерь и ценой предотвращения потерь. В частности, интуитивно ясно, что срыв срока подачи машины такси менее критичен, чем неподача в срок машины экстренной помощи, хотя с вероятностной точки зрения задачи идентичны.
В качестве примера оптимизации уровня сервиса рассмотрим задачу определения объема поставки товара в сбытовую компанию при следующих предположениях.
Пусть время от подачи заявки до выпуска товара в свободную продажу t постоянно, средняя скорость отгрузки за месяц также постоянна, а суммарный объем отгрузки за время поставки t с равной вероятностью принимает любое значение от 0 до a.
В этом случае плотность распределения вероятностей p(x) объема отгрузки x за срок поставки t имеет следующий вид:
(1).
На рисунке 1 представлен график равномерной плотности распределения (1).
Рисунок 1. Плотность равномерного распределения.
Предположим, что поставка товара на склад осуществляется партиями постоянного объема A, а заказ оформляется по достижении товарным запасом некоторого фиксированного уровня d. В рассматриваемой задаче объем поставки мы считаем заданным, и вопросы его оптимизации не рассматриваются. Будем также считать, что срок поставки меньше длительности интервала между поставками.
Очевидно, что для обеспечения 100%-го сервиса по обслуживанию клиентов, т.е. устранения возможного дефицита товара, заявку на поставку необходимо подавать в тот момент, когда складской запас уменьшится до величины a. При реализации максимального спроса очередная поставка придет в момент обнуления складского запаса. Принципиальная схема управления товарным запасом представлена на рисунке 2.
Рисунок 2. Динамика товарного запаса (d - объем запаса в точке заказа, t - длительность поставки, A - объем поставки).
Рассмотрим, насколько описанная стратегия управления товарным запасом эффективна с экономической точки зрения. Пусть стоимость «владения» единицей товара составляет b финансовых единиц в сутки, а совокупные издержки дефицита составляют c финансовых единиц за единицу товара, находящегося в дефиците, т.е. на такой товар, на который был спрос, но которого не было в наличии. В стоимость «владения» включены затраты на хранение товара, расходы на обслуживание «замороженных» в товаре финансовых средств, а также все другие издержки, которые могут быть следствием старения товара, краж и т.д. К издержкам дефицита относятся как прямые потери, т.е. неполученная прибыль, так и опосредованные издержки, связанные, например, с возможностью потери клиента из-за низкого уровня сервиса. Будем считать, что величина c включает все возможные издержки дефицита. Предлагаемая модель, в которой издержки, возникающие из-за дефицита, пропорциональны дефициту, является некоторым упрощением. В общем случае косвенные потери приводят к более сложным, нелинейным зависимостям, но в нашем анализе такими, достаточно тонкими, эффектами мы пренебрежем.
Как нетрудно видеть, средний объем продаж за период от подачи заявки до прихода поставки составляет величину a/2. При описанной выше стратегии управления товарным запасом страховой запас будет составлять величину также равную a/2, а суточные издержки на его поддержание составят величину ab/2.
Различные стратегии управления запасом в изучаемой задаче будут отличаться лишь объемом страхового запаса, поэтому при расчете издержек рабочий запас рассматривать необходимости нет.
Если заявка на поставку инициируется при уровне товарного остатка d меньшем, чем значение параметра a, товар периодически будет находиться в дефиците. В среднем за цикл поставки объем дефицита, т.е. объем нереализованного спроса, будет составлять величину D, определяемую по формуле
(2).
В случае плотности распределения вероятностей p(x), определяемой формулой (1), для объема дефицита за период поставки D получаем
(3).
Уровень сервиса в этой задаче - это процент реализованного спроса по отношению ко всему объему спроса. Рассчитанный объем дефицита относится к одному циклу поставки, поэтому в рассматриваемой задаче уровень сервиса определяется как отношение объема поставки к сумме объемов поставки и дефицита, т.е.
(4),
а, используя выражение (3), найдем
(5).
С учетом того, что за цикл поставки в среднем реализуется A единиц товара, то среднее отношение объема дефицита к реализованному обороту составит D/A. Если за период t в среднем продается a/2 единиц товара, то средняя реализация за сутки составит величину a/2t. Среднесуточное значение дефицита тогда составит aD/(2tA), а стоимость дефицита, приведенная к одним суткам, будет равна acD/(2tA).
В случае стратегии, допускающей дефицит, средний страховой запас будет иметь величину d-a/2, если d>a/2, и 0 в противном случае.
Суточные расходы на поддержание страхового запаса будут составлять величину (d-a/2)bq(d-a/2). Здесь функция q(x) - импульсная функция, равная 1 при x>0 и 0 в обратном случае.
Суммарные издержки I на поддержание страхового запаса и издержки дефицита составят
I = (d-a/2)bq(d-a/2) + acD/(2tA) (6),
а используя выражение (3)
I = (d-a/2)bq(d-a/2) + (a-d)2c/(4tA) (7).
На рисунке 3 изображена характерная зависимость издержек от величины объема запаса в точке заказа.
Рисунок 3. Зависимость издержек от складского запаса в точке заказа.
Условием экстремума (максимума или минимума) функции является равенство нулю ее первой производной. Минимум функции I достигается при d = d*, для которого
(8).
Дифференцируя выражение (7) по аргументу d, найдем
(9).
Выражение (9) наглядно показывает, что независимо от стоимости хранения, стоимости дефицита и объема поставки, оптимальное решение рассматриваемой модельной задачи всегда отличается от решения, определяемого стопроцентным сервисом при выполнении условия d = a.
Используя формулы (5) и (7) можно выразить суммарные издержки через уровень сервиса.
(10).
На рисунке 4 представлена зависимость суммарных издержек от уровня сервиса. Минимальные издержки достигаются в точке S*, которая определяется следующим выражением:
(11).
Выражение (11) определяет, насколько оптимальный уровень сервиса в изучаемой задаче отличается от 100% при различных значениях определяющих параметров.
Рисунок 4. Зависимость суммарных издержек от уровня сервиса.
Задачи, в которых стопроцентный сервис недостижим
В рассмотренной выше задаче обеспечение стопроцентного сервиса было возможно, хотя, как выяснилось, не эффективно с экономической точки зрения. Во многих практических задачах такой уровень сервиса невозможен даже теоретически. Для иллюстрации ситуации, в которой стопроцентный сервис недостижим, видоизменим предыдущую задачу - предположим, что плотность распределения p(x) определена на неограниченном интервале. В этом случае всегда будет существовать вероятность, пусть ничтожная, того, что объем отгрузки товара за период t окажется больше любого заранее заданного уровня.
Предположим, что вероятность объема отгрузки за период t определяется нормальным распределением со средним значением <x> и дисперсией s2. В этом случае плотность распределения объема отгрузок p(x) будет иметь вид
(12).
Нормальное, или распределение Гаусса с плотностью (12) весьма часто встречается в различных приложениях. Объясняется это центральной предельной теоремой теории вероятностей, которая утверждает, что сумма большого числа независимых случайных величин асимптотически приближается к нормальному распределению. На рисунке 3 представлен типичный график плотности гауссовского распределения.
Рисунок 3. Плотность нормального распределения.
Нетрудно видеть, что нормальное распределение формально допускает наличие «отрицательных» отгрузок, поэтому, строго говоря, такая модель для неотрицательной величины абсолютно точной быть не может. Однако при достаточно малом коэффициенте вариации (отношении среднеквадратичного значения s к среднему значению <x>) вероятностью таких событий можно пренебречь.
Очевидно, что принципиальным отличием этой задачи от расммотренной ранее задачи с равномерным распределением, будет неизбежное наличие дефицита при любом уровне товарного запаса. Объем дефицита за цикл поставки выражается формулой (2), тогда для распределения (12):
(13),
где
(14).
Уровень сервиса S будет иметь вид
(15).
Типичный график зависимости уровня сервиса от параметра d представлен на рисунке 4. При возрастании параметра d уровень сервиса асимптотически приближается к ста процентам. Параметр d связан линейно со страховым запасом, определяющим в рассматриваемой задаче издержки, связанные с повышением уровня сервиса. На рисунке 4 представлена зависимость роста затрат при увеличении уровня сервиса. Эта зависимость получается как обращение зависимости (15), т.е. при выражении параметра d как функции величины S.
Рисунок 4. Зависимость уровня сервиса от объема запаса в точке заказа.
Если считать, что дополнительные издержки, связанные с увеличением уровня сервиса, зависят от объема страхового запаса линейно, то зависимость издержек от уровня сервиса принимает вид, представленный на рисунке 5.
Рисунок 5. Зависимость издержек от уровня сервиса.
Зависимость издержек от уровня сервиса для исследуемой задачи представить в элементарных функциях нельзя, но можно проанализировать асимптотику этой зависимости. Можно показать, что асимптотика издержек при уровне сервиса, близком к ста процентам, имеет вид
(16).
Для анализа поведения роста издержек при приближении уровня сервиса к ста процентам, удобно рассмотреть отношение издержек при некотором уровне сервиса, к издержкам при уровне сервиса равном, например, 99%.
Рисунок 6 иллюстрирует рост издержек при уровне сервиса, превышающем 99%.
Рисунок 6. Рост издержек при приближении уровня сервиса к 100%.
Задачи порогового типа
В рассмотренных ранее задачах параметром оптимизации являлся объем товарного дефицита. Существует класс логистических задач, оптимизация в которых требует принципиально иной постановки. Это задачи порогового типа, в них нехватка ресурса приводит к критическим последствиям независимо от величины этой нехватки. Типичным примером являются задачи на опоздание: так, независимо от времени опоздания на самолет (на пять минут или на час), последствия для пассажира наступают одинаковые. Подобного типа явления встречаются, например, при поломке оборудования из-за замерзания воды, выходе из строя или необходимости дорогостоящей переналадки оборудования в поточном производстве из-за нехватки сырья, при задержке в подаче машины экстренной помощи, при порче продукции из-за нарушения температурных условий хранения и т.д. Все эти достаточно разнородные задачи объединяются одним моментом: наступление критического события приводит к скачкообразным издержкам.
В качестве примера рассмотрим следующую задачу. Пусть вероятность наступления критического события определяется экспоненциальным распределением, а аргументом распределения является некоторый ресурс. Ресурсом может быть товарный запас, мощность системы отопления, количество транспорта в расчете на единицу площади города и т.д.
В качестве модельного распределения выбрано хорошо известное экспоненциальное распределение с плотностью
(17).
Распределение с плотностью (15) чрезвычайно удобно для модельных расчетов, поскольку позволяет получать решения в элементарных функциях, что делает анализ более наглядным.
В рассматриваемой задаче нас интересует частота возникновения нехватки ресурса в зависимости от уровня ресурса.
В отличие от предыдущей задачи мы считаем не «мощность» дефицита, а сам факт его наличия. Если в течение дня ресурса не хватило, то день считаем дефицитным независимо от того, не хватило 10 или 90 % ресурса на этот день. В этой задаче изучается и оптимизируется другая величина по сравнению с дефицитом, рассмотренным ранее. При решении этой задачи оптимизируется другая целевая функция.
Пусть плотность распределения p(x).
Вероятность дефицита D1 определяется
(16),
для рассматриваемой плотности эта величина имеет вид:
D1 = exp(-ld), а уровень сервиса, определяемый как S = 1 - D1, имеет вид:
S = 1 - exp(-ld)
Количество ресурсов d выражается через уровень сервиса
d = (1/l)ln(1-S)
Если издержки владения ресурсом пропорциональны объему ресурса, а I95 обозначает объем издержек при 95% уровня сервиса, то
I/I 95 = ln(1-S)/ln(0,05)
|
S |
I/I95 |
|
80 |
0,54 |
|
90 |
0,77 |
|
95 |
1,00 |
|
98 |
1,31 |
|
99 |
1,54 |
|
99,9 |
2,31 |
|
99,99 |
3,07 |
Таблица 1.
В таблице приведены нормированные ресурсы в зависимости от уровня сервиса. Для обеспечения 80-и процентного уровня необходимо примерно в два раза меньше ресурсов, чем для обеспечения 95-и процентного сервиса, а обеспечение сервиса 99,99 требует в два раза больше ресурсов, чем для 99-и процентного сервиса.
Распределения с «тяжелыми» хвостами
Другим типом распределений, часто встречающихся в логистике, являются так называемые распределения с «тяжелыми» хвостами. В отличие от экспоненциального, гауссовского и подобных распределений, для распределений с «тяжелыми» хвостами характерно медленное затухание плотности при больших значениях аргумента. Характерным примером таких распределений является гиперболическое распределение, или распределение Парето. Плотность гиперболического распределения имеет вид
(17).
Аналогично рассмотрению экспоненциального распределения для распределения Парето может быть найдена зависимость сервиса от объема ресурсов и обратная зависимость количества ресурсов в зависимости от уровня сервиса.
d = (1/x0)(1-S)-1/a
При линейной зависимости издержек от ресурсов, рост издержек при повышении уровня сервиса будет описываться следующей зависимостью:
(18).
В таблице представлена зависимость ресурса d при разном уровне сервиса. В отличие от быстро затухающих плотностей, таких как гауссовская или экспоненциальная, для распределений с «тяжелыми» хвостами характерна более мощная особенность при уровне сервиса, близком к ста процентам.
|
S |
d/d95 |
||||
|
a = 1 |
a = 2 |
a = 3 |
a = 4 |
a = 5 |
|
|
80 |
0,25 |
0,50 |
0,63 |
0,71 |
0,76 |
|
90 |
0,50 |
0,71 |
0,79 |
0,84 |
0,87 |
|
95 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
|
98 |
2,50 |
1,58 |
1,36 |
1,26 |
1,20 |
|
99 |
5,00 |
2,24 |
1,71 |
1,50 |
1,38 |
|
99,9 |
50,00 |
7,07 |
3,68 |
2,66 |
2,19 |
|
99,99 |
500,00 |
22,36 |
7,94 |
4,73 |
3,47 |
Таблица 2.
Заключение
Одним из печальных выводов проведенного анализа следует считать неизбежным наступление в зимний период в г. Москве периодического паралича наземного автотранспорта. Для достижения стопроцентного сервиса в этой области необходимо иметь парк снегоуборочной техники, сопоставимый со всем автопарком города. Всегда будет существовать вероятность снегопада, результат которого невозможно устранить в реальном времени.
Исходя из сказанного, можно сделать следующий вывод: стопроцентный уровень сервиса очень редко достижим и практически никогда не может быть оправдан экономически.